PROCESO ESTOCASTICO
En estadística, y específicamente en la teoría de la probabilidad, un proceso estocástico es un concepto matemático que sirve para caracterizar una sucesión de variables aleatorias (estocásticas) que evolucionan en función de otra variable, generalmente el tiempo. Cada una de las variables aleatorias del proceso tiene su propia función de distribución de probabilidad y, entre ellas, pueden estar correlacionadas o no.
Cada variable o conjunto de variables sometidas a influencias o impactos aleatorios constituye un proceso estocástico.
METODO DE MONTECARLO
El método de Montecarlo es un método no determinístico o estadístico numérico, usado para aproximar expresiones matemáticas complejas y costosas de evaluar con exactitud.
Proporciona soluciones aproximadas a una gran variedad de problemas matemáticos posibilitando la realización de experimentos con muestreos de números pseudoaleatorios en una computadora. El método es aplicable a cualquier tipo de problema, ya sea estocástico o determinista.
A diferencia de los métodos numéricos que se basan en evaluaciones en N puntos en un espacio M-dimensional para producir una solución aproximada, el método de Montecarlo tiene un error absoluto de la estimación que decrece como (1/ Raiz cuadrada de N) en virtud del teorema del límite central.
Espacio de probabilidad
En general un espacio probabilístico
- Primero, el conjunto Ω (llamado espacio muestral) de los posibles resultados del experimento, llamados sucesos elementales.
- Segundo, por la colección
- Tercero una medida de probabilidad o función de probabilidad
Variable aleatoria
Una variable es aleatoria si su valor está determinado por el azar. En gran número de experimentos aleatorios es necesario, para su tratamiento matemático, cuantificar los resultados de modo que se asigne un número real a cada uno de los resultados posibles del experimento. De este modo se establece una relación funcional entre elementos del espacio muestral asociado al experimento y números reales.
Teoría de colas
La teoría de colas es el estudio matemático de las líneas de espera o colas dentro de una red de comunicaciones. Su objetivo principal es el análisis de varios procesos, tales como la llegada de los datos al final de la cola, la espera en la cola, entre otros.
La teoría de colas generalmente es considerada una rama de investigación operativa porque sus resultados a menudo son aplicables en una amplia variedad de situaciones como negocios, comercio, industria, ingenierías, transporte y telecomunicaciones.
Ejemplo visual de Statecharts
ALGUNAS DEFINICIONES ESTADISTICAS
Fenómeno aleatorio
En estadística, un experimento aleatorio es aquel que bajo el mismo conjunto aparente de condiciones iniciales, puede presentar resultados diferentes, es decir, no se puede predecir el resultado exacto de cada experiencia particular. (Ej: Lanzamiento de un dado).
Este tipo de fenómeno es opuesto al fenómeno determinista, en el que conocer todos los factores de un experimento nos hace predecir exactamente el resultado del mismo. Por ejemplo, conociendo la altura desde la que se arroja un móvil es posible saber exactamente el tiempo que tardará en llegar al suelo en condiciones de vacío.
σ-álgebra
En matemáticas, una σ-álgebra sobre un conjunto X es una familia Σ no vacía de subconjuntos de X, cerrada bajo complementos, uniones e intersecciones contables. Las σ-álgebras se usan principalmente para definir medidas en X. El concepto es muy importante en análisis matemático y en teoría de la probabilidad.
Frecuencia relativa
Es el cociente entre la frecuencia absoluta y el tamaño de la muestra (N). Se presenta en una tabla o nube de puntos en una distribución de frecuencias.
Si multiplicamos la frecuencia relativa por 100 obtendremos el porcentaje o tanto por ciento (pi) que presentan esta característica respecto al total de N, es decir el 100% del conjunto.
Ejemplo de frecuencias relativas
Función de probabilidad
Una función de probabilidad (también denominada función de masa de probabilidad) es una función que asocia a cada punto de su espacio muestral X la probabilidad de que ésta lo asuma.
En concreto, si el espacio muestral, E de la variable aleatoria X consta de los puntos x1, x2, ..., xk, la función de probabilidad P asociada a X es:
P(xi)=Pi
donde pi es la probabilidad del suceso X = xi.
El sumatorio de todas estas probabilidades suma la unidad.
Función de densidad
Función de densidad, o, simplemente, densidad de una variable aleatoria continua es una función, usualmente denominada f(x) que describe la densidad de la probabilidad en cada punto del espacio de tal manera que la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor dentro de un determinado conjunto sea la integral de la función de densidad sobre dicho conjunto.
Esperanza matemática
En estadística la esperanza matemática (también llamada esperanza, valor esperado, media poblacional o media) de una variable aleatoria X, es el número E(X) que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio.
Cuando la variable aleatoria es discreta, la esperanza es igual a la suma de la probabilidad de cada posible suceso aleatorio multiplicado por el valor de dicho suceso. Por lo tanto, representa la cantidad media que se "espera" como resultado de un experimento aleatorio cuando la probabilidad de cada suceso se mantiene constante y el experimento se repite un elevado número de veces.
Varianza
En teoría de probabilidad, la varianza (σ2) de una variable aleatoria es una medida de dispersión definida como la esperanza del cuadrado de la desviación de dicha variable respecto a su media.
Está medida en unidades distintas de las de la variable. La desviación estándar, es la raíz cuadrada de la varianza, es una medida de dispersión alternativa expresada en las mismas unidades de los datos de la variable objeto de estudio. La varianza tiene como valor mínimo 0.
GENERAR NÚMEROS ALEATORIOS CON MÉTODOS CONGRUENCIALES
En los experimentos de simulación es necesario generar números aleatorios que representen alguna distribución de probabilidad. Para tal propósito tenemos que generar números rectangulares. Ahora bien, si esos números son generados a través de reglas deterministas¿acaso no sería más preciso llamarles números pseudoaleatorios? De hecho, pero bien podríamos mirar desde el otro lado de la calle y decir que “una sucesión cumple la facultad de aleatoria si satisface las pruebas estadísticas de aleatoriedad”
Métodos Congruenciales
Los generadores de números aleatorios que más se usan son los generadores congruenciales lineales (LCG) ideados por un tal Lehmer. El chiste de un LCG es generar un valor aleatorio a partir de otro anterior. En este post estudiaremos los dos métodos congruenciales lineales más populares:
Congruencial Mixto
La fórmula (o relación de recurrencia) es sencilla:
X n+1 = (aXn + c) mod m
Donde:
- X0 es la semilla
- a el multiplicador
- c la constante aditiva y
- m el módulo
A tener en cuenta: Los valores a, X0 y c tienen que ser mayores que cero. Y la variable m tiene que ser mayor que las tres anteriores. Para entrar en acción vamos a darle valores arbitrarios a cada uno de estos parámetros y estudiar que reacción tienen en la relación de recurrencia.
Congruencial Multiplicativo
El generador congruencial lineal multiplicativo es básicamente el mismo rollo. La relación de recurrencia es similar a la del método anterior:
X n+1 = (aXn) mod m
MODELOS DE SIMULACIÓN DE EVENTOSDISCRETOS
El sistema cambia de estado en una cantidad numerable de instantes de tiempo (EVENTOS)
Los eventos pueden servir para:
· Planificar el final de una simulación
· Planificar una operación en un instante concreto
Ejemplo: Cola
· Servidor (libre/ocupado)
· Cola (vacía/ocupada)
· Cliente (tiempo llegada/tiempo servicio)
· Eventos (llegada/servicio cliente)
Mecanismos de Avance de Tiempo
Es necesario disponer de un mecanismo de avance del tiempo.
Se denomina RELOJ DE SIMULACIÓN a la variable del modelo que proporciona el valor actualizado del tiempo simulado.
No son necesarias unidades de medida (GPLs)
Dos formas de avance del tiempo.
· Por eventos
· Por incrementos fijos
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